Matlab的应用-多项式函数及多项式拟合
本节将向大家简要介绍matlab在多项式处理方面的应用。
多项式函数主要有：
roots求多项式的根
poly特征多项式
polyval多项式的计算
poly2str(p,'x')多项式代换
polyfit多项式曲线拟合
conv多项式乘法
deconv多项式除法
polyder微分多项式
polyint 多项式积分
下面我们将介绍这些函数的用法：
1，roots---求多项式的根
格式:roots(c)
说明:它表示计算一个多项式的根,此多项式系数是向量c的元素.如果c有n+1个元素,那么此多项式为:
c(1)*x^n+c(2)*x^(n-1)+c(3)*x^(n-2)+--+c(n)*x+c(n+1)
2，poly---特征多项式
格式：poly(a)
说明:（1）如果a是一个n阶矩阵,poly(a)是一个有n+1个元素的行向量,这n+1个元素是特征多项式的系数(降幂排列).
（2）如果a是一个n维向量,则poly(a)是多项式(x-a(1))*(x-a(2))*..(x-a(n))，即该多项式以向量a的元素为根。
3，polyval—多项式计算
格式：polyval(v,s)
说明:
如果v是一个向量,它的元素是一个多项式的系数,那麽polyval(v,s)是多项式在s处的值.
如果s是一个矩阵或是一个向量,则多项式在s中所有元素上求值
例如:
v=[1234];vv=poly2str(v,’s’)
(即v=s^3+2*s^2+3*s+4)
s=2;
x=polyval(v,s)
x=
26
例如:
v=[1234];
s=[24];
polyval(v,s)
ans=26112
4，conv-多项式乘法
例：as=[123]
as=
123
>>az=[2421]
az=
2421
>>conv(as,az)
ans=
28161783
conv(az,as)
ans=
28161783
5，deconv-多项式除法
例：deconv(az,as)%返回结果是商式的系数
ans=
20
[awwq,qw]=deconv(az,as)%awwq是商式的系数，qw是余式的系数
awwq=
20
qw=
00-41
6，polyder微分多项式
polyder(as)
ans=
22
7，polyfit--多项式曲线拟合
格式::polyfit(x,y,n)
说明:polyfit(x,y,n)是找n次多项式p(x)的系数,这些系数满足在最小二乘法意义下p(x(i))~=y(i).
“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查到我国从1949年至1994年人口数据资料如下：
如何确定我国人口的发展变化规律呢？
一般地，我们采用下面的分析处理方法：
首先，在直角坐标系上作出人口数与年份的散点图象。观察随着年份的增加人口数与年份变化关系，初步估计出他们之间的关系可近似地可看做一条直线。那么我们如何把这条直线方程确定出来呢？并用他来估计1999年我国的人口数。
方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为N=14.088t–26915.842，代入t=1999,得N»12.46亿
方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t=1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。
方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。这就是曲线拟合的问题。
方法一与方法二都具有一定的局限性，下面我们重点介绍数据的曲线拟合。所谓曲线拟合是指给定平面上的n个点(xi,yi),i=1,2,….,n,找出一条曲线使之与这些点相当吻合，这个过程称之为曲线拟合。最常见的曲线拟合是使用多项式来作拟合曲线。曲线拟合最常用的方法是最小二乘法。其原理是求f(x),使达到最小。matlab提供了基本的多项式曲线拟合函数命令polyfit
格式::polyfit(x,y,n)
说明:polyfit(x,y,n)是找n次多项式p(x)的系数,这些系数满足在最小二乘法意义下p(x(i))~=y(i).
已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好呢?可以根据散点图进行直观观察，在此基础上，选择几种曲线分别拟合，然后比较，观察那条曲线的最小二乘指标最小。
下面我们给出常用的曲线（下面的为变量，等为参数）
直线：
多项式：(一般情况下，n不宜过高，n=2,3)
双曲线：y=
指数曲线：
幂函数：
有些曲线的拟合，为了利用数学软件，在拟合前需作变量替换，化为对未知数的线性函数。
思考：如果根据，曲线是双曲线或指数曲线及幂函数等，如何利用matlab的多项式拟合函数来作曲线拟合？
例2：在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律。测得一组数据如下表所示：
试求浓度y与时间t的函数关系。并推断第20、40分钟时的浓度值。
本题是一个可以用数据的曲线拟合来解决的问题。下面是利用matlab编的一段程序。
clear;
％录入数据
xy=[14
26.4
38.0
48.4
59.28
69.5
79.7
89.86
910
1010.2
1110.32
1210.42
1310.5
1410.55
1510.58
1610.6];
x=xy(:,1);
y=xy(:,2);
plot(x,y,'r*');％画出散点图，观察曲线走势
holdon;t=0:.3:10;pxdxs=polyfit(x,y,2);
pxd=poly2str(pxdxs,'x')
pxdx=polyval(pxdxs,t);plot(t,pxdx,'-k')
方法2：解下述方程组：（这是超定方程组（方程个数大于未知数个数的方程），这个方程组没有普遍意义下的解，但可以在最小二乘法意义下求解）
把它写成矩阵乘法的形式：
y＝a*[a,b,c]'
其中，a=[1,1,1;122^2;133^2;144^2;155^2;166^2;177^2;188^2;199^2;11010^2;…
11111^2;11212^2;11313^2;11414^2;11515^2;11616^2];
y=[010.210.3210.4210.510.5510.5810.6]';
于是，abc=ay
